【 問題 】４年生向け
三角形ABCは、∠A＝60°、∠B＝90°、∠C＝30°の直角三角形です。
三角形ABCの内部に点Pがあり、∠APB＝∠BPC＝∠CPAです。
三角形ABPと三角形CAPと三角形BCPの面積比はいくつですか。
【 解答 】
小学生にとってはパズルみたいなもんだね。では、いきましょう。
∠CPA＝∠APB（＝∠BPC）＝120°
∠A＝60°
ここに着目する。
∠PAB＋∠PAC＝60°
∠PAB＋∠PBA＝60°
⇒ ∠PAC＝∠PBA
そう、つまり、二角相当だから△CAPと△ABPは相似なんだ。
CA：AB＝2：1
⇒ △CAPと△ABPの相似比は2：1
⇒ PB：PA＝1：2
⇒ PB：PA：PC＝1：2：４
△CAPと△ABPの相似比は2：1
⇒ △CAPと△ABPの面積比は4：1
できました☆
△BCPの面積は△ABPの面積の2倍なんだけどわかるかな。
たとえば、△ABPをAPがCP上に重なるようにBP固定で折り返してあげるとわかりやすいかも。
△CAPの面積：△ABPの面積＝4：1
△BCPの面積：△ABPの面積＝2：1
⇒ △ABP：△CAP：△BCP＝1：4：2
図を凝視ながら以下の点をしっかりと押さえる。
・ △CAPと△ABPは相似、相似比は2：1、面積比は4：1
・ PB：PA：PC＝1：2：4
・ △ABPと△BCPの面積比は1：2
よって、答えは1：4：2となる。
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