【 問題 】４年生向け
三角形ABCの辺CAを2等分する点がD、辺BCを3等分する点がEとFで、DB、AE、AFに線を引きました。
三角形ABCにおいて、黒い部分の面積の合計は白い部分の面積の合計の何倍ですか。
【 解答 】
相似と隣辺比とベンツ切りを習った後にやる基本問題。では、いきましょう。
相似でもメネラウスでもなく、ベンツ切りと隣辺比で攻めてみる。
AG：GEとAH：HFが出せれば面積比が出せる。
慣れてしまえば手を動かさなくても頭の中でできるから早めに慣れてしまおう。
まずはAG：GEから。
と思ったけど、まずはその前に当たり前を確認。
上の図で、AD：DEが2：1だとする。
AD：DE＝2：1
⇒ △ABD：△DBE＝2：1、△ACD：△DCE＝2：1
⇒ 四角形ABDCの面積：△DBCの面積＝2：1
※ 加比の理 ⇒（ Read more » cf.年齢算2 ）
そう、つまり、四角形ABDCと△DBCの面積の比がわかれば、AD：DEが出せるんだ。
四角形ABDCの面積：△DBCの面積＝AD：DE
それでは、AG：GEを出しにいこう。
AG：GEを出すために、GCを引いてあげる。
AD：DC＝1：1
⇒ △ABGの面積：△BCGの面積＝1：1
BE：EC＝1：2
⇒ △ABGの面積：△ACGの面積＝1：2
△ABGの面積：△BCGの面積＝1：1
△ABGの面積：△ACGの面積＝1：2
⇒ △ABGの面積：△ACGの面積：△BCGの面積＝1：2：1
（ Read more » cf.面積15 ）
△ABGの面積：△ACGの面積：△BCGの面積＝1：2：1
⇒ 四角形ABGCの面積：△BCGの面積＝3：1
⇒ AG：GE＝3：1
同じように、AH：HFを出しにいく。
AH：HFを出すために、HCを引いてあげる。
AD：DC＝1：1
⇒ △ABHの面積：△BCHの面積＝1：1
BF：FC＝2：1
⇒ △ABHの面積：△ACHの面積＝2：1
△ABHの面積：△BCHの面積＝1：1
△ABHの面積：△ACHの面積＝2：1
⇒ △ABHの面積：△ACHの面積：△BCHの面積＝2：1：2
△ABHの面積：△ACHの面積：△BCHの面積＝2：1：2
⇒ 四角形ABHCの面積：△BCHの面積＝3：2
⇒ AH：HF＝3：2
長さの比をまとめると下のようになる。
できました☆
隣辺比を使って、順々に三角形の面積割合を出してあげる。
△ABGの面積
＝ △ABCの面積 × 1/3 × 3/4
＝ △ABCの面積 × 1/4
△AGHの面積
＝ △ABCの面積 × 1/3 × 3/4 × 3/5
＝ △ABCの面積 × 3/20
△AHDの面積
＝ △ABCの面積 × 1/3 × 3/5 × 1/2
＝ △ABCの面積 × 1/10
四角形GEFHの面積
＝ △AEFの面積 － △AGHの面積
＝ △ABCの面積 × 1/3 － △ABCの面積 × 3/20
＝ △ABCの面積 × 11/60
黒い部分の面積
＝ △ABGの面積 ＋ 四角形GEFHの面積 ＋ △AHDの面積
＝ △ABCの面積 × ( 1/4 ＋ 11/60 ＋ 1/10 )
＝ △ABCの面積 × 8/15
⇒ 白い部分の面積 ＝ △ABCの面積 × 7/15
⇒ 黒い部分の面積：白い部分の面積＝8：7
黒い部分の面積＝白い部分の面積×▢
⇒ 8＝7×▢
⇒ ▢＝8/7
あと、BG：GH：HDも出しておこうか。
BG：GH：HD
＝ △ABGの面積：△AGHの面積：△AHDの面積
＝ 1/4：3/20：1/10
＝ 15：9：6
小学生はどの子もベンツ切りを上手にやるし、慣れてしまえば手を動かさなくても頭の中で線を引いて長さの比を出せるようになる。練習では暗算力を鍛えるんだよ！
よって、答えは8/7倍となる。
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