「手を動かしてまなぶ 曲線と曲面 (藤岡 敦) §18 ガウスーワインガルデンの公式」の学習記録。
ガウスの公式
ガウスの公式とは言うものの中身はなくて、ほとんど定義に近い印象。まずは記号を確認。
\( p: D\rightarrow {\mathrm R}^3\) 曲面
\( \nu = \frac{1}{\|p_u\times p_v\|} \, p_u\times p_v \) 単位法ベクトル場
\( L= \langle p_{uu},\nu \rangle,\, M=\langle p_{uv},\nu \rangle,\,N=\langle p_{vv},\nu \rangle \) 第ニ基本量
\( \Gamma \) ガウスの公式で定義されるクリストッフェルの記号
ガウスの公式は \( p \) の２回微分を \( p_u,\,p_v,\,\nu \) で表したもの。
\( \begin{eqnarray}
p_{uu} &=& \Gamma_{uu}^u \, p_u + \Gamma_{uu}^v \, p_v + L \, \nu \\p_{uv} &=& \Gamma_{uv}^u \, p_u + \Gamma_{uv}^v \, p_v + M \, \nu \\
p_{vu} &=& \Gamma_{vu}^u \, p_u + \Gamma_{vu}^v \, p_v + M \, \nu \\
p_{vv} &=& \Gamma_{vv}^u \, p_u + \Gamma_{vv}^v \, p_v + N \, \nu \\
\end{eqnarray} \)
\( p_{uv} = p_{vu} \) より \( \Gamma_{uv}^u=\Gamma_{vu}^u,\, \Gamma_{uv}^v=\Gamma_{vu}^v\) が成り立つ。
クリストッフェルの記号と第一基本形式
クリストッフェルの記号と第一基本形式の関係を求める。第１基本量を確認。
\( E = \langle p_u,\,p_u \rangle,\,F = \langle p_u,\,p_v \rangle,\,G = \langle p_v,\,p_v \rangle \)
\( E_u = 2 \langle p_{uu},\,p_u \rangle \) に対して、ガウスの公式と \( \langle p_u,\nu \rangle = 0 \) を適用する。
\( E_u = 2\Gamma_{uu}^u\, E + 2\Gamma_{uu}^v\, F \)
\(E,G\) に関しては同様にできる。
\( \begin{eqnarray}
E_v &=& 2\Gamma_{uv}^u\, E + 2\Gamma_{uv}^v\, F \\
G_u &=& 2\Gamma_{uv}^u\, F + 2\Gamma_{uv}^v\, G \\
G_v &=& 2\Gamma_{vv}^u\, F + 2\Gamma_{vv}^v\, G \\
\end{eqnarray}\)
\(F\) については次のようになる。
\( \begin{eqnarray}
F_u &=& \langle p_{uv},\,p_u \rangle+\langle p_{uu} ,\,p_v \rangle
= \frac{1}{2}E_v + \Gamma_{uu}^u\,F + \Gamma_{uu}^v\,G\\
F_v &=& \langle p_{vv},\,p_u \rangle+\langle p_{uv} ,\,p_v \rangle
=\Gamma_{vv}^u\,E + \Gamma_{vv}^v\,F +\frac{1}{2}G_u
\end{eqnarray}\)
これを書き換える。
\( \begin{eqnarray}
2F_u \,-\, E_v &=& 2 \Gamma_{uu}^u\,F + 2 \Gamma_{uu}^v\,G \\
2F_v \,-\, G_u &=& 2 \Gamma_{vv}^u\,E + 2 \Gamma_{vv}^v\,F
\end{eqnarray} \)
\( \Gamma^u \) が上、\(\Gamma^v\) が下になるように行列でまとめる。
\( \begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)
\left( \begin{array}{ccc} \Gamma_{uu}^u & \Gamma_{uv}^u & \Gamma_{vv}^u \\ \Gamma_{uu}^v & \Gamma_{uv}^v & \Gamma_{vv}^v \end{array} \right)
&=& \frac{1}{2}
\left( \begin{array}{ccc} E_u & E_v & 2F_v \,-\, G_u \\ 2F_v \,-\, G_u & G_u & G_v\end{array} \right)
\end{eqnarray} \)
ワインガルデンの公式
ワインガルデンの公式は \( \nu_u, \nu_v \) を与える公式である。\( \nu \) に直交するので、次のように \( p_u,p_v \) の一次結合で表す。
\(\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{c} \nu_u \\ \nu_v \end{array} \right)
&=&
\left( \begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} p_u \\ p_v \end{array} \right)
\end{eqnarray}\)
両辺に左から \( \left( \begin{array}{cc} {}^tp_u & {}^tp_v \end{array} \right) \) を掛ける。
\(\begin{eqnarray}
\left( \begin{array}{cc} \langle \nu_u,p_{u} \rangle & \langle \nu_u,p_{v} \rangle \\ \langle \nu_v,p_{u} \rangle & \langle \nu_v,p_{v} \rangle \end{array} \right)
&=&
\left( \begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)
\end{eqnarray}\)
定義より、\( L = \langle \nu,p_{uu} \rangle,\,M = \langle \nu,p_{uv} \rangle,\,N = \langle \nu,p_{vv} \rangle \) に注意する。\( \langle \nu,p_{u} \rangle = 0 \) を \(u\) で偏微分して \( \langle \nu_u,p_{u} \rangle + \langle \nu,p_{uu} \rangle = \langle \nu_u,p_{u} \rangle + L = 0 \) だから \( \langle \nu_u,p_{u} \rangle = – L \)。\(v\) で偏微分すると \( \langle \nu_v,p_{u} \rangle = – M \) を得る。\( \langle \nu,p_{v} \rangle = 0 \) からは \( \langle \nu_u,p_{v} \rangle = -M,\,\langle \nu_v,p_{v} \rangle = -N \) が得られる。以上により、次のワインガルデンの公式が得られる。
\( \begin{eqnarray} \left( \begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array} \right)
&=& – \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right)
\left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)^{-1}
\end{eqnarray}\)
ガウス曲率
16章でガウス曲率を \( K = \mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right)^{-1}
\left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right) \) と求めた。これは \( \mathrm{det} \left( \begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array} \right) \) に等しい。また、
\( \begin{eqnarray}
\nu_u \times \nu_v &=& (P \, p_u + Q \, p_v ) \times (R \, p_u + S \, p_v) \\[1mm]
&=& \left| \begin{array}{cc} P & Q \\ R & S \end{array} \right| \, p_u \times p_v
\end{eqnarray} \)
も成り立つ。
