「手を動かしてまなぶ 曲線と曲面 (藤岡 敦) §17 正規直交標構による方法」の学習記録。
正規直交標構
パラメータ \( u,v \) で表された曲面 \( p(u,v) \) を考える。パラメータ \( u, v \) はしばしば省略する。正規直交標構はグラム-シュミットの直交化法を用いて構成できるとあるので、実際に構成してみる。まず、\( e_1 = \frac{1}{\| p_u \|} p_u \) である。次に \( q= p_v \,-\, \langle p_v,e_1 \rangle e_1 \) として、\( e_2 = \frac{1}{\| q \|} q,\,e_3 = e_1 \times e_2 \) とすれば、正規直交標構 \( \{ e_1,e_2,e_3 \} \) が得られる。
ここで \( \left\{ \, \tilde{e}_1=e_1,\,\tilde{e}_2=-e_2,\,\tilde{e}_3=-e_3 \, \right\} \) も条件を満たす正規直交標構に思える。しかし、このテキストの構成では除外されるようだ。\( \left\{ \, \tilde{e}_1=e_2,\,\tilde{e}_2=e_1,\,\tilde{e}_3=-e_3 \, \right\} \) も同様である。\( \{ e_1,\,e_2 \} \) と \( \{ p_u,\,p_v \} \) が同じ向きになることを要求しているようだが、定義17.1 のどこにあるのか今のところ分からないので、とりあえず疑問点として書き留めておく。これは 17.4節でも現れる。\( \tilde{e}_3= e_3 \) とされているが、接平面の正規直交系が逆向きの場合、\( \tilde{e}_3=-e_3 \) となる。\( \displaystyle \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \end{array} \right) = T \left( \begin{array}{c} \tilde{e}_1 \\ \tilde{e}_2 \end{array} \right) \) と表した時、\( T \in O(2) \) ではあるが、一般に \( T \in SO(2) \) とは限らない。結果に大きな影響はないので \( \{ e_1,\,e_2 \} \) と \( \{ p_u,\,p_v \} \) が同じ向きになることは仮定しない。
\( \frac{1}{\|p_u\times p_v\|} p_u\times p_v = c\, e_1 \times e_2 \) と表す。\( \{ e_1,\,e_2 \} \) と \( \{ p_u,\,p_v \} \) が同じ向きの場合は \( c=1 \)、逆向きの場合は \( c=-1 \) である。\( \left( \begin{array}{c} p_u \\ p_v \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \end{array} \right) \) と表す。
\( \begin{eqnarray}
p_u \times p_v &=& (a_{11}\, a_{22} \,-\, a_{12}\, a_{21}) \, e_1 \times e_2 \\
&=& \frac{c\,(a_{11}\, a_{22} \,-\, a_{12}\, a_{21})}{\|p_u\times p_v\|} p_u\times p_v
\end{eqnarray} \)
\( c\,(a_{11}\, a_{22} \,-\, a_{12}\, a_{21}) = \|p_u\times p_v\| \) なので、\(a_{11}\, a_{22} \,-\, a_{12}\, a_{21} \neq 0 \) 。特に、\( A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right) \) は正則。
第一基本形式の計算
\( \displaystyle \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} p_u \\ p_v \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} {}^tp_u & {}^tp_v \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} {}^te_1 & {}^te_2 \end{array} \right) \,{}^t\!A = A\,{}^t\!A \)
\( \left( \, \begin{array}{cc} \alpha & \beta \end{array} \, \right) \left( \begin{array}{c} p_u \\ p_v \end{array} \right) = \left( \, \begin{array}{cc} \theta_1 & \theta_2 \end{array} \, \right) \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \end{array} \right)\) とする。\( ( \alpha,\beta ),\, ( \theta_1,\theta_2 ) \) はそれぞれ基底 \( \{p_u,\, p_v\},\,\{e_1,\, e_2\} \) に関する座標である。\( \left( \begin{array}{c} p_u \\ p_v \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} e_1 \\ e_2 \end{array} \right) \) の関係があるので、\( \left( \, \begin{array}{cc} \theta_1 & \theta_2 \end{array} \, \right) = \left( \, \begin{array}{cc} \alpha & \beta \end{array} \, \right) A \) である。
\( \begin{eqnarray}
\left( \, \begin{array}{cc} \alpha & \beta \end{array} \, \right) \left( \begin{array}{cc} E & F \\ F & G \end{array} \right) \left( \, \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \, \right)
&=& \left( \, \begin{array}{cc} \alpha & \beta \end{array} \, \right) A\, {}^t\!A \left( \, \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \, \right) \\[1mm]
&=& \left( \, \begin{array}{cc} \theta_1 & \theta_2 \end{array} \, \right)\left( \, \begin{array}{c} \theta_1 \\ \theta_2 \end{array} \, \right)
\end{eqnarray} \)
第二基本形式の計算
\( E\alpha^2+2M\alpha\beta+N\beta^2=1 \) を満たす \( \alpha,\beta \) に対して、\( \alpha\, p_u + \beta\, p_v \) 方向の法曲率は第二基本量を使って次のように表される。
\( \begin{eqnarray}
L\alpha^2+2M\alpha\beta+N\beta^2
&=&
\left( \, \begin{array}{cc} \alpha & \beta \end{array} \, \right)
\left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right)
\left( \, \begin{array}{c} \alpha \\ \beta \end{array} \, \right) \\
&=&
\left( \, \begin{array}{cc} \theta_1 & \theta_2 \end{array} \, \right)\, A^{-1}
\left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right)
\,{}^t\!A^{-1} \,\left( \, \begin{array}{c} \theta_1 \\ \theta_2 \end{array} \, \right) \\
&=&
\left( \, \begin{array}{cc} \theta_1 & \theta_2 \end{array} \, \right) \,B\,
\left( \, \begin{array}{c} \theta_1 \\ \theta_2 \end{array} \, \right)
\end{eqnarray} \)
ここで、\( B= A^{-1} \left( \begin{array}{cc} L & M \\ M & N \end{array} \right) \,{}^t\!A^{-1}\) とおいた。主法曲率っぽく \( \kappa_n \) と書かれているけど、特に主法曲率に限定される理由はなさそう。
