小説 22歳の扉

青羽悠　2024年　集英社

複素力学系　フラクタル　カオス

京都の大学の理学部に入学した田辺朔（たなべさく）が，いくつかのサークルが集まる旧文学部棟の地下で営業している学内バーのマスターを引き継ぐことになり，そこでいろいろな人と出会って成長していく学生生活を描いた話です．

僕が読んでいたのは複素力学系、とくにフラクタル幾何学と呼ばれる分野のものだった。ある時間の状態が、前の時間の状態からシンプルなルールに沿って決まる。では、そのルールを何度も反復させると、やがてどんな状態に辿り着くのか。その疑問が出発点の学問だった。 

結果は多様で、まるで予測できない結果(=カオス)を生むことも、結果が同じ構造を繰り返す(=フラクタル)こともあった。 同じ構造を何度も繰り返す。再帰的。その振る舞いはどこか奇妙で、僕はそこに興味を向け続けることができた。理解するためには他の知識も必要だったから、僕には自然とやるべきことが増えた。

複素力学系とは何でしょう．上の文中の ｢ある時間の状態が、前の時間の状態からシンプルなルールに沿って決まる｣ というのは ｢数列の漸化式 $x_{n+1}=f(x_n)$ または関数 $y=f(x)$ に値を代入して次の値が決まる｣ ことを意味し，そのルールで変化していく物事を数式を使ってモデル化する数学の分野を力学系といい，その対象が複素数なら複素力学系となります．

複素力学系では ｢そのルールを何度も反復させると、やがてどんな状態に辿り着くのか｣ を複素平面上で調べます．ある複素数 $z_0$（初期値）を関数 $w=f(z)$ に代入し，得られた値をまた同式に代入して次の値を得るということを繰り返していくと，初期値 $z_0$ や $f(z)$ の違いによって，ある値に近づいていったり (収束)，無限に遠くへ離れていったり (発散)，｢同じ構造を繰り返す (フラクタル)｣ や，｢まるで予測できない結果( カオス)｣ の状態になったりすることがあります．

その例として有名なものが $f(z)=z^2+C$ という関数です．これで繰り返し得られた (発散しない) 値を複素平面上で点をとっていくと，フラクタル図形で有名なマンデルブロ集合（$z_0=0$ と固定したときの $C$ の集合）や，ジュリア集合（$C$ を固定したときの $z_0$ の集合）になります．

マンデルブロ集合（左）と $C=-0.5+0.6i$ のときのジュリア集合（右）
WolframAlphaで作成

フラクタル図形とは，どんなに拡大･縮小しても同じ形が現れる（自己相似性の）図形のことで，これを研究するのが文中に出てきた ｢フラクタル幾何学｣ であり，この主人公が読んでいた分野になります．2次元，3次元，4次元の世界などというあの ｢次元｣ が非整数になるのが特徴で，この話は小説 ｢神様のパラドックス｣ に出てきました．

因みに，整数が対象なら離散力学系といいますが，その例として小説 ｢夜中に犬に起こった奇妙な事件｣ に生物の個体数についての話が出てきました．さらに実数が対象なら連続力学系といいますが，これは小説 ｢禁忌の子｣ に出てきた死後直腸温変化の話が当てはまりそうです．

[参考]

カオスとフラクタル
山口昌哉著 1986年 ブルーバックス

複素力学系入門
https://azisava.sakura.ne.jp/math/complex_dynamics.html