今週の問題　問167　答え

上野竜生です。問167の答えを発表します。

問167

答え　A={0,1,ω,ω²} , {1,-1,i,-i}

Aに属する要素をαとする。
このとき
\(\alpha,\alpha^2,\alpha^3,\alpha^4,\alpha^5 \)はすべてAに属するから条件1よりこの5つの中に等しいものが存在する。
ここで\( \alpha^s = \alpha^t \)とする。（1≦s＜t≦5）
すると\(\alpha=0 \)または\( \alpha^{t-s} =1 \)となる。（1≦t-s≦4）
t-s=1のときα=1
t-s=2のときα=1,-1
t-s=3のときα=1,ω,ω²
t-s=4のときα=1,-1,i,-i
（ただし\( \displaystyle \omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} \)）
以上よりAの要素の可能性として考えられるものは
「0,1,-1,i,-i,ω,ω²」の7つ。
この中から4個を選んで条件2を満たすようにしたい。

①i（または-i）を含むとき
\( i , i^2=-1 , i^3=-i , i^4=1 \)を含まないといけないので条件１よりこの4つのみを含むしかない。
-iを含むときも同様。
以下ではi,-iは含まないとしてよい。

②ω（またはω²）を含むとき
ω,ω²,ω³=1を含まないといけない。
ア）　残りの1つの要素が「0」のとき
「0,1,ω,ω²」は条件１・２をともに満たす。

イ）　残りの1つの要素が「-1」のとき
Aの要素-1とωに対し，その積-ωはAの要素ではないので条件2を満たさず不適

ω²を含むときも同様。

③i,-i,ω,ω²をいずれも含まないとき
残りの要素の可能性は「0,1,-1」の3つしかないので条件1を満たさず不適。

以上より
A={0,1,ω,ω²},{1,-1,i,-i}
の2組。

正解者：2名（中西ゆか さま，古姫 さま）