＜最初にお断り＞
すべての中学受験生が面積図をマスターするべきだとは思っておりません。
特に受験までの準備期間が短い場合は、方程式などで代用することも大変有益であると思います。
＜ステップアップ演習とは＞
中学への算数の増刊号です。大手集団のS塾やN塾にお通いで、難関中学を志望とする生徒様の算数の足固めとして、自宅学習としてステップアップ演習（東京出版）を使用するケースが多い。
＜その他注意＞
この記事は、ある程度基本的なことは学習済みであることを前提とします。
また発展的内容となります。
ニュートン算において、中学への算数のステップアップ演習では、線分図を利用して解いておりますが、逆比をうまく利用するという観点から面積図も大変有効であるので、ご紹介致します。
このステップアップ演習（P.208～P.209）のニュートン算再考より、
問題
一定の量の水が湧き出ている池があります。この池が満水のとき、水をポンプでくみ出して池が丁度空になるのには、Aポンプでは１０時間、Bポンプでは１２時間、Cポンプでは１８時間かかります。AポンプとBポンプを同時に使ってくみ出すと、満水の池が丁度空になるのに４時間かかります。AポンプとCポンプを同時に使ってくみ出すと、満水の池が丁度空になるのに□時間かかります。
（芝中）
上記の問題、一般的なニュートン算の解き方では大変なことになります。
もちろん、倍数変化算の要領で解けばいいですが・・・
（方程式でも変数が多くてちょっと面倒ですね・・・）
上記の様な問題に対し、ステップアップ演習（P.208～P.209）のニュートン算再考では、線分図を用いる２通りの解法を紹介しています。
（１つ目は一般的な解き方。２つ目は上記の様な問題を簡単に解く解き方。）
こちらの２つ目の解法が、かなり学力の高いお子様でも自宅学習では意味を理解するのがちょっと難しいかなと思います。
もし、ちょっと難しいかなと思う生徒様には、面積図をオススメします！
なんと、面積図を利用すると、２通りのうちの楽な方の解き方を自然と選択することになるのです！
２つ目の解き方も「楽勝！」と感じる生徒様も、面積図をきっちり利用できるようにしておくと、ニュートン算に限らず、気付きにくい逆比を利用する問題で大変便利です。
では、面積図による２通りの解法を簡単な問題で紹介します。♪
このステップアップ演習（P.208～P.209）のニュートン算再考より、
問題
ポンプで井戸水をくみ出すのに、ポンプ３台では１２時間かかり、ポンプ８台では４時間かかりました。では、ポンプ５台では何時間かかりますか？
（比治山女子中）
面積図を利用した場合の、１つ目の解法
（一般的）
図より、
３台を使用して汲み上げた総水量は、
３×１２＝３６
１２台を使用して汲み上げた総水量は、
８×４＝３２
元々井戸にあった水量は、３台のときも１２台のときも等しい。
よって、３台のときに湧き出した水量と４時間のときに湧き出した水量の差は、
３６－３２＝４
また、３台のときに湧き出した水量は、
□×１２ と表せ、
同様に、８台のときに湧き出した水量は、
□×４と表せる。
よって、□×８＝４、□＝０．５
以下省略
面積に着目した、つまり、水量に着目して式を立てたことが分かります。
まぁ、この解き方は線分図でも十分だと思います。
問題は次の解き方です。
面積図を利用した場合の、２つ目の解法
（逆比の利用）
元々井戸にあった水量は、３台のときも１２台のときも等しい。
面積は水量を表すので、当然面積も等しい。
また、３台のときの元々井戸にあった水量の横の長さは１２時間、
１２台のときの元々井戸にあった水量の横の長さは４時間。
よって、元々井戸にあった水量（面積）を１とすれば、縦は、それぞれ、1/4、1/12 となる。
（逆比の利用ともいえる）
左端の縦軸となる線分図と、右端の縦軸となる線分図の差に注目すると、
初めに井戸にあった水量は、
（８－３）÷（1/4-1/12）
＝３０
以下省略
＜まとめ＞
このように面積図を利用するとどちらの解法も選ぶことが可能です。
特に芝中の方の問題は、面積図を利用すると自然と２つ目の解法で解くことになります。
また、この２つ目の解法のポイントは、皆様もお気づきでしょうが、逆比です。
逆比をうまく扱えることは、算数において、とても重要です。
面積図は、面積が等しいことを利用して、自然と逆比を利用することになるのが大きな利点となるのです。
食塩水における天秤算も、食塩（面積）が等しいことによる逆比の利用なので、面積図で解けるのです。
アップスクール 池内
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